對數隨機漫步下的蛛網

從對數中央極限定理可以確知市場呈現對數常態分佈。
再加上價格是有邊界的假設，可推得長期複合報酬率$r_c=0$。
因此若以漲賣跌買的機率各為$\frac12$執行蛛網策略，在漲$r$比例時做賣出，則買進時的價格應是在下跌比例為$\dfrac{r}{1+r}$的時候，也就是價格抵達原本的$1+r$倍時賣出，抵達$\dfrac1{1+r}$時買進。
我們用下面的程式碼來模擬蛛網策略交易的行為：

程式模擬（程式碼可修改）

JavaScript 程式碼
輸出結果
在這個程式碼裡假設價格每次到$(1+r)$賣出，和到$\dfrac1{1+r}$買進的機率都是$\dfrac12$，經過$10,000$次交易以後的最終價格、賣出次數、買進次數與最終資金。
可以發現即使價格下跌，只要幅度不大，還是可以獲利。價格上漲就一定是獲利的。
還記得在講凱利槓桿時證明了只要最終價格回到原本位置，最佳槓桿就是$0.5$，如果價格上揚則最佳槓桿大於$0.5$，如果下跌則最佳槓桿小於$0.5$。同時也論述了槓桿小於最佳槓桿只會少賺不會虧，高於最佳槓桿則會承擔不必要的風險，高過頭甚至會造成虧損。
這段程式把槓桿設置為$0.5$，所以在跌勢中就高於最佳槓桿了，如果跌勢明顯，能用的槓桿更低，$0.5$就可能高過頭了。
但漲與跌是由隨機函數Math.random()決定，因此最後漲和跌的機率是一半一半，在大數法則運作之下，來來回回互相抵銷的次數會更多，如果把max_steps設置為100_000，能承受下跌的範圍就更大，也就更不容易虧錢；若是改成max_steps=1_000_000就幾乎不會虧錢了。 上面就是max_steps=1_000_000的執行結果，可以看到價格就算趨近於0（小數點兩位顯示不出來）還是不會虧錢。因為有隨機函數，所以每次結果都不一樣，但你大概要很努力很努力很努力地重試，才有那麼一點點很小很小很小的機會虧錢。
數學永遠不會錯，會錯的是假設，所以要檢查的是假設合不合理。我們的假設是：