投資的聖盃

這個故事應該大家都聽過了，但是你真的有體會到嗎？

古印度的舍罕王準備重賞國際象棋的發明者，王國的宰相班．達伊爾，聰明的宰相並沒有要求貴重的金銀珠寶或是土地，而是請求國王按照他所發明的棋盤賞賜足夠數量的小麥，規則是在棋盤的第一個格子裡放上一粒麥子，第二個格子裡放上兩粒，第三個格子裡放上四粒，此後每一個格子都放上前一個格子中麥子數量的兩倍，直到64個格子全都放滿為止。

「就這麼簡單？」沒錯，宰相先生自信地點了點頭。

故事的結果你們都該清楚了，沒啥心眼的舍罕王很快答應了這個看似微不足道的要求。開始的時候填放麥子的速度很快，格子一個一個地被掠過，國王的臉上甚至浮現出了一絲輕蔑的笑容。但隨著格子數逐漸地增加，國王開始意識到問題的嚴重，他吩咐下人搬來的一袋袋麥子很快用完，甚至好幾袋麥子都不夠填放一個格子，局面朝著越來越無法控制的方向發展，國王為他的決定後悔了。

事實上宰相達伊爾所求的賞賜真的是一個天文數字，如果真的如他所願用麥子將整個棋盤填滿，那麥子的總數將相當於人類2000多年來生產的所有小麥的總和。

這樣簡單地講完，讀者很快地掠過，很難有什麼感覺，我們來做一點計算好了。
第一格是一粒麥子，第二格是兩粒，放到最後一格就是 $2^{63}$ 粒，我們知道 $2^{10}=1024\approx10^3$ ，所以

$2^{63}=2^3\times(2^{10})^6\approx8\times(10^3)^6=8\times10^{18}$

$8\times10^{18}$ ，這個數字是什麼概念呢？假設一粒麥子高0.1公分，也就是1公釐好了，那就是 $10^{-3}$ 公尺， $(8\times10^{18})\times10^{-3}=8\times10^{15}$ 公尺 $=8\times10^{12}$ 公里，地球到太陽的距離是1億5千萬公里，也就是 $1.5\times10^8$ ，所以這些麥子疊起來，可以去回太陽共 $(8\times10^{12})\div(1.5\times10^8)\approx5\times10^4$ 趟，也就是50,000趟。這樣講還不夠嚇人，事實上第50格的麥子來回一趟太陽就有剩了，51格就夠走3趟，接著每一格可來回的趟數還要倍增，難怪國王要哭哭了。
所以我要說投資的聖盃是倍增或等比級數嗎？不是，當然不是。請問各位，那個宰相真的能拿到他想要的麥子嗎？我找到的故事有好幾個版本，大部份都是說到這裡就結束了，有一個版本是國王欠他麥子，另一個版本是國王叫他自己去倉庫數，但是沒有找到我認為最有可能的版本：國王應該會把他殺了吧！至少在中國歷史上，「功高震主」向來就是死路一條。
所以投資的聖盃到底是什麼？是要不失人性，不為己甚。
雖然我是學科學出身的，但是我常常想到一個問題：如果科學求真的精神這麼無法否定，為什麼世界各地都有宗教？不管是什麼教，紅的黑的白的黃的藍的，總之就是有個教。(有人注意到我又在白爛嗎？藍的是什麼教？)
如果什麼都要講真的，書店裡到底是星象占卜的書多呢，還是物理化學的書多？是講醫學生物的書多呢，還是減肥偏方的書多？是歷史地理的書多呢，還是虛構小說的書多？大家愛看的是國家地理頻道，還是日劇韓劇肥皂劇？
如果世界上大家都講科學講邏輯，沒有貪婪沒有恐懼沒有人性，會是什麼樣子？

伯特蘭．羅素

1950年代，美國和西歐有許多人主張對蘇聯發動一次直接、毋須任何理由的核武攻擊。它有一個委婉的名稱，叫做「預防性戰爭」。懷抱這種想法的人認為，美國應該抓住時機，透過核武脅迫或突然襲擊，以建立一個世界政府。當時許多優秀的知識分子也廣為支持預防性戰爭，包括當代兩個最出色的數學家──伯特蘭‧羅素和約翰‧馮紐曼。
他們都相信預防性戰爭是邏輯的必然，是解決核武擴散的唯一合理方案。1948年羅素在某篇文章中寫到：「我提出的理由就像數學證明一樣，是如此明白無誤。」羅素是一名和平主義者，他曾反對英國參與第一次世界大戰，並因此被罰款並喪失了三一學院的教職。1918年他還因反戰活動而判刑6個月。羅素始終認為，任何戰爭都是罪惡的，這樣的一個人卻在純粹邏輯的計算結果中，得出要先用核子武器把蘇聯轟個稀巴爛的結論。

約翰．馮紐曼

馮紐曼的態度更加強硬，贊成出其不意用核武做第一擊。馮紐曼在他鼓吹預防性戰爭時候引用過書中一段話：「你我都很清楚，務實的人都知道，正義是取決於競爭力量的強弱，因此事實上強者可以憑實力遂其所願，而弱者只能接受必須接受的現實。」馮紐曼被譽為「電腦之父」，他明確規定用二進制替代十進制運算，並將電腦分成五大組件，這一卓越的思想為電子電腦的邏輯結構設計奠定了基礎，已成為電腦設計的基本原則。他說：「若人們不相信數學簡單，只因他們未意識到生命之複雜。」不知道他主張出其不意用核武做第一擊，是出於簡單的數學，還是源自生命之複雜？

這樣有看出沒人性的科學邏輯會造成什麼後果了嗎？北韓近日怒嗆要「彈洗」關島，川普則以「北韓將面臨到世界前所未見的烈焰風暴」作為回應。如果川普對北韓也進行全面突襲，或對北韓的核武試驗場或導彈發射基地進行打擊，或是直接刺殺金正恩，結果會怎樣呢？這時候人性非常重要。

喝酒的人、吸毐的人、迷信的人、狂怒的人，都會做出沒有人性的事情，但是對科學與邏輯的堅持也會導致失去人性，就有點讓人意料不到了。

畢達哥拉斯以「畢氏定理」聞名於世，他對數有一種瘋狂的執迷，相信宇宙是由數學組成的，這份狂迷感染了整個畢氏學派，他們認為每個自然數都有其不凡的意義：數字“1”是所有自然法則的根源，數字“2”代表“見解”(opinion)，因為任何的見解存在與其相反之見解。數字“4”代表“公正”(justice)，直到今日英文square仍是公正的同意詞。數字“5”代表“婚姻”，因為在他們眼中，奇數是陽性的，代表男性，偶數是陰性的，代表女性。5 = 2+3是第一個陰性數和陽性數的結合。其他例如“7”代表“健康”，“8”代表“友誼或愛情”，至於如何解釋，請各位發揮一下想像力吧！
那時候的他認為「世上的一切都具有整數或整數之比(分數)那樣的性質」，總之，畢達哥拉斯的觀點就是”宇宙萬物皆整數”。然而事實卻非如此。有一天他的學生希帕索斯問畢達哥拉斯，邊長為１的正方形對角線能否用整數和整數之比來表示呢？當然不行，我們知道 $\sqrt2$ 是無理數，畢達哥拉斯無解了，然而，畢氏始終不願承認自己的錯誤，卻又無法經由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。
後來呢？他竟然判決將希帕索斯淹死了。居然有人因為喊著 $\sqrt2$ 而被淹死了，相較起來，那個說國王沒穿衣服的小孩真是太好命了。
OK，或許有人說：那是畢達哥拉斯知識不足，相信了錯誤的真理，才會造成這個結果。
這麼說就搞錯重點了，重點是要「不失人性，不為己甚」，難道現代就沒有這種很扯的例子嗎？

把全國鋼鐵集中集來，就可以造出強大武器？（大躍進）
一對羊生2對羊，2對羊生4對羊，很快就長到千千萬萬隻羊？（大生產）
這不是我們的錯，我們只是碰上了25個標準差的意外事件。（高盛財務長）
我這個月瘦了2公斤，一年就瘦24公斤，過不了幾年我就要消失了（真的是我）

25個標準差？那可是要 $10^{135}$ 年才會碰上一次的事件，宇宙生成到現在還沒有150億年，也就是 $1.5\times10^{10}$ ，把宇宙的生命縮到1秒，以現在的宇宙時間，每1秒重生一個宇宙，要碰上25個標準差的事件，機會還是趨近於零。有人要看算法嗎？

$1$

年= $365$

天= $365\times86400$

秒 $\approx3\times10^7$

秒

宇宙生命約 $150$ 億年= $(1.5\times10^{10}$ 年 $)\times(3\times10^7$ 秒 $/$ 年 $)=4.5\times10^{17}$ 秒

如果宇宙生命從大霹靂開始到現在，壓縮在 $1$ 秒內發生，目前的宇宙生命時間可以重新創造 $4.5\times10^{17}$ 個宇宙，每一個有 $1.5\times10^{10}$ 年

所以共是 $(4.5\times10^{17})\times(1.5\times10^{10})=6.75\times10^{27}$ 年，同樣的動作大概要再做 $7$ 次才有機會接近 $10^{135}$ 吧！

錯的錯的錯的，有人大聲吶喊！
上面都是錯的，因為相信了錯的東西，所以是錯的，邏輯是不會錯的，Garbage In, Garbage Out！真理不會錯，只是還沒找到真理而已。這是科學家的信念，他們堅持並執著於真理的存在，一代又一代，從亞利斯多德到阿基米德，從畢達哥拉斯到拉普拉斯，從伽利略到以下省略，不停地推翻舊有的東西，又不停地創造定理。
可是，相信有真理才是真正的迷信。真理早就已經被證明不存在了。
在數理邏輯中，庫爾特·哥德爾於1931年證明並發表「哥德爾不完備定理」。第一條定理指出：任何相容的形式系統，都可以在其中找不能被證明的真命題，因此通過推演不能得到所有真命題（即體系是不完備的）。把第一條定理的證明過程在體系內部形式化後，哥德爾證明了他的第二條定理。該定理指出：任何相容的形式系統，不能用於證明它本身的相容性。
白話一點來說，就是所有的邏輯都不能證明自己是對的，一定要透過系統外的邏輯才能證明自己是對的，而用來證明的邏輯又必需被其外的邏輯來證明，最後就是一定有東西無法證明自己是對的，而如果它不能被證明，用它所證明出來的東西也全部都不能肯定說是對的。
最近倒是讀到一個很有趣的東西，我在高中時問過老師，他口吃了。後來我終於明白，教到我的老師其實蠻辛苦的。我們先來看這個級數和： $1-2+3-4+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cdot n$

，高中時是用 $\frac{1}{(1+x)^2}$

的泰勒展開式求解：

$\begin{aligned} f(x) &=(1+x)^{-2} & f(0)&=1 \\ f'(x) &=-2(1+x)^{-3} & f'(0)&=-2\\ f''(x) &= 6(1+x)^{-4} & f''(0)&=6\\ &\vdots &\vdots\\ f^{(n-1)}(x)&= (-1)^{n-1}n!(1+x)^{-(n+1)} & f^{(n-1)}(0)&=(-1)^{n-1}n!\\ \end{aligned}$

所以 $f(x)=\frac{1}{(1+x)^2}=(1+x)^{-2}$ 對 $0$ 展開之泰勒展開式(又稱馬克勞林級數)為：

$\begin{aligned} \frac{1}{(1+\Delta x)^2}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!} \Delta x^{n-1} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n!}{(n-1)!} \Delta x^{n-1} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n\Delta x^{n-1} \\ \end{aligned}$

把 $\Delta x=1$ 代入上式就得到

$\frac{1}{4}=\frac{1}{(1+1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cdot n=1-2+3-4+5-\cdots$

答案是 $1/4$

，我相信今日高中生的題庫裡應該還可以找得到這一題，接下來就是我要問的問題了：如果
$S_0=1-2+3-4+5-6+7-8+\cdots=1/4$

，那麼考慮另一個級數 $S_1=1+2+3+4+5+6+7+8+\cdots$

，若用 $S_1$

減去 $S_0$

，會得到以下的狀況：

$\begin{aligned} S_1&=1&&+2+3&&+4+5&&+6+7&&+8+\cdots\\ -S_0&=1&&-2+3&&-4+5&&-6+7&&-8+\cdots\\ \hline \\ 4S_1&=&&+4&&+8&&+12&&+16+\cdots \end{aligned}$

結果 $S_1-S_0=4S_1$ ，移項移一移得到

$1+2+3+4+5+\cdots=S_1=-\frac{1}{3}S_0=-\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=-\frac{1}{12}$

超怪，對不對？當時老師也答不上話來。最近看印度天才數學家拉馬努金的故事「天才無限家」，原來真的有這個級數和，真的是 $-1/12$ ，而且還被用在弦論跟量子力學中。我可沒唬人喲，連結證據在此：1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ wiki
所以說，今天你存1元到銀行，明天存2元，後天存3元，存到後來，你還倒欠銀行 $1/12$ 元，這樣可以嗎？或是換成股票看有沒有比較合理：今天買1張樂陞，明天買2張，後天買3張，買到後來什麼都沒有，還倒欠樂陞 $1/12$ 張股票，這時你要相信數學，還是相信自己的人性呢？

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