凱撒的最後一口氣

凱撒大帝死於西元前44年，無窮的軍事野心耗盡了人民對他的景仰與支持，眾叛親離的元老院派出傾巢的刺客，將他殺害。傳聞他在死對頭龐培的雕像下吐出了最後一口氣，物理大師費米問：「你呼吸的每一口氣中，有多少分子來自於凱撒所吐出的最後一口氣？」

成年人每分鐘約呼吸16次，每次500cc，也就是半公升。國中理化告訴我們空氣中有80%是氮，分子量28，20%是氧，分子量32，人吐出的空氣成份氮仍然佔80%，氧氣濃度則下降為16%，二氧化碳濃度是4%。不過後者用不到，我們只需利用理想氣體方程式：

$\begin{aligned} PV &=nRT, &R=0.0821 atm\cdot L/mol\cdot K \\ n &= \frac{PV}{RT} \\ &= \frac{1 \times 0.5}{0.0821 \times 298} \approx 0.02 mole \\ &= 0.02 \times (6 \times 10^{23}) = 1.2 \times 10^{22} \end{aligned}$

人呼吸一口氣中大約有 $0.02$ 莫耳的分子，也就是 $1.2\times 10^{22}$ 個氣體分子。
凱撒呼出的最後一口氣中有 $1.2\times 10^{22}$ 個氣體分子，擴散到整個大氣中，如果平均分散了，那我們每呼吸的一口氣，有幾個來自那一口氣呢？
假設全部大氣的分子數有 $N$ 個，那凱撒的最後一口氣佔比就是 $\frac{1.2\times 10^{22}}{N}$ ，再乘上我們吸一口氣也吸進了 $1.2\times10^{22}$ 個分子，就是平均每口氣吸進多少個凱撒所呼出的氣體分子了。
我們知道地球表面的氣壓就是一大氣壓，國中理化再度告訴我們一大氣壓是 $76cm$ Hg，每平方公分承受

$76\times13.6=1033.6gw$

，地球的半徑是 $6371$ 公里，表面積就是

$4\times\pi\times6371^2=5.10\times10^8\cdot km^2=5.10\times10^{18}\cdot cm^2$

乘上大氣壓力 $1033.6gw/cm^2$ 之後，可以得到地表空氣總重為

$5.10\times10^{18}\times1033.6=5.27\times10^{21}gw$

這個重量再除以大氣的平均分子量

$\frac{4}{5}\times 28 + \frac{1}{5}\times 32 = 28.8$

，就得到地表空氣分子的數量 $N$ 為：

$\begin{aligned} 5.27\times10^{21}\div 28.8 &= 1.83\times 10^{20}\cdot mole \\ &=(1.83\times10^{20}) \times (6\times 10^{23}) = 1.10 \times 10^{44} \end{aligned}$

現在可以算我們每呼吸一口氣到底有幾個分子來自於凱撒的最後一口氣了：

$1.2\times 10^{22} \times \frac{1.2\times10^{22}}{1.1\times10^{44}}\approx 1.3$

答案是1.3個，你呼吸的每一口氣平均有1.3個分子來自於凱撒的最後一口氣。事實上，來自於釋迦牟尼的也是那麼多，來自於耶穌基督的也是那麼多，來自於孔子老子以至於你十八代祖宗跟我十八代祖宗的，都是那麼多。
我呼吸的也是。
既然如此，到底有什麼好計較的呢？

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