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這邊有我參考的證明來源:Kelly Formula / 凱利公式 - 風險控管,其中的Maclaurin Series就是對0展開的泰勒展開式。它還特別假設了一個隨機變數也是多餘的。推導出的結果是:

    \[ f=\frac{\mu-r}{\sigma^2} \]

其中\mu是報酬率的平均值,\sigma是標準差,值得一提的是這段證明中還假設了一個無風險利率r,也就是資金如果不做投資,可以得到多少報酬率。我對這件事一向很有意見。
財務管理學的慣例上,假設無風險利率就是國庫券的利率,當然這是以美國為例,如果你人在其它國家,應該以當地的政府公債利率為無風險利率。這個“應該”是學理上的“應該”喔,不是我的意見,我的意見是無風險利率就是0,如果俄羅斯政府倒過債、冰島政府倒過債,憑什麼認為政府公債是無風險的,其它國家都可能只是還沒倒債而已,所以若把無風險利率為0代進去,就得到更為簡潔的凱利公式型式了。

    \[ f=\frac{\mu}{\sigma^2} \]

那麼根據凱利公式的最佳報酬率是什麼呢?把上式的f代入總報率公式,會得到:

    \[ \begin{aligned} R &= (1+fr_1)(1+fr_2)(1+fr_3)\cdots(1+fr_n)-1\\  &= f(r_1+r_2+r_3+\cdots+r_n)+f^2(r_1r_2+r_1r_3+\cdots)+\cdots\\  &\approxeq f(r_1+r_2+r_3+\cdots+r_n)\\  &= n{\mu}f\\  &=n{\mu}\frac{\mu}{\sigma^2}\\  &=n(\frac{\mu}{\sigma})^2 \end{aligned} \]

這邊把f^2(\cdots)以後的高次項視為太小給省略掉了。
請注意最後括號裡的東西是什麼?{\mu}/{\sigma},單位風險的平均報酬率,這不就是Sharpe Ratio嗎?夏普指標。所以大部份的財務管理學裡,都希望能把夏普指標給極大化,標準差才是衡量風險的最佳方法。
下面的影片看不懂也沒關係,只是證明給你看公式是對的。但請一定要注意後面講半凱利公式的那一段,那是生死攸關的事。